Vous avez toujours rêvé de voir passer devant vous un ours sur un vélo à 90% de la vitesse de la lumière? Ou la fusée de Tintin? Ou le chat de la voisine, qui aime la bonne cuisine et y court très vite... Ou encore, vous apprenez ou enseignez les bases de la relativité restreinte en terminale S [1], en premières années d'études à l'Université ou en classes prépa, ou en autodidacte? Ou vous êtes simplement curieux?

Ce petit billet est fait pour vous ! Il décrit les bases physiques et un petit script informatique pour visualiser le passage. Le problème de base du passage de la bicyclette très rapide, posé de manière didactique suite à la découverte de la Relativité Restreinte par A. Einstein, a été proposé par M. George Gamow,  dans ”Mr. Thompkins in the Wonderland” [2]. Il permet de comprendre également comment des galaxies se déplaçant à vitesse relativiste par rapport à nous peuvent être apparemment déformées. Des détails sur ce problème peuvent être trouvés dans un article de A. Nowojewski [3].

Lorsqu'un objet se déplace à vitesse constante v par rapport à un observateur, si v n'est pas négligeable par rapport à la vitesse de la lumière c, les distances dans la direction du mouvement sont "ratatinées" pour l'observateur, elles sont divisées par un facteur d'échelle plus grand que 1 nommé facteur de Lorentz, γ=1/√(1-v*v/c/c) - d'autant plus grand que 1 que v n'est pas négligeable par rapport à c, et égal à 1 si v est négligeable. Au passsage, le temps enregistré par une horloge sur l'objet est également modifié par rapport au temps enregistrée par des horloges immobiles pour l'observateur , qui enregistrent des durées plus longues - on parle de contraction de l'espace et de dilatation du temps. Vous pouvez lire les détails de la tranformation des coordonnées (transformation de Lorentz [4]) en bas de ce texte dans le paragraphe "Pour aller plus loin: Version pour lecteurs ayant des notions de Relativité Restreinte de niveau Terminale S" . Ou vous pouvez continuer directement la lecture.

Considérons un ours. Ou une ourse. Pour qu'il s'agisse d'une grande ourse afin d'appréhender au mieux les phénomènes célestes, montons la sur les bicyclettes de nos arrière-arrière grands parents, un grand bi. Une telle ourse sur une bicyclette se déplaçant vers le bas à 90% de la vitesse de la lumière voit donc sa dimension verticale réduite dans le repère de l'observateur, étant multipliée par √(1-0.9*0.9) = 0.436.

Figure: Gauche (ou haut): Ourse descendant sur un Grand Bi à 90% de la vitesse de la lumière (telle qu'observée à vitesse non relativiste par anonyme68189 sur le site pédagogique Coloritou [5]). Droite (ou bas): Ourse ratatinée par son déplacement relativiste, dans le repère de l'observateur à un moment donné.

Est-ce pour autant ainsi que l'observateur verra passer l'Ourse? Ce sera le cas si le temps qu'ont mis les photons lumineux partis de l'ourse est négligeable par rapport au temps de déplacement de l'ourse d'une fraction de sa taille: quand on regarde une telle ourse à vitesse non relativiste, négligeable par rapport à la vitesse de la lumière c, après un temps d'émission donné de photons depuis n'importe quel point sur l'ourse, la lumière parcourt la distance entre les points de l'ourse et l'observateur en un temps négligeable, et l'observateur voit l'ourse avec la forme qu'elle a à ce moment.

Mais si l'ourse se déplace à une vitesse non négligeable par rapport à la vitesse de la lumière, l'ourse se sera déplacée le temps que les photons arrivent à l'observateur. Et le temps mis par les photons pour arriver jusqu'à l'oeil de l'observateur depuis un point de la (célèbre) peau de l'ourse qui émet (1) ces photons dépend de la position de ces points sur la peau de l'ourse: les photons émis (1)  à un moment donné du nez de l'ourse arrivent à l'observateur avant ceux émis en même temps par la queue de l'ourse, si elle s'approche. Les points les plus proches émettent (1) des photons qui arrivent en moins de temps à l'observateur que les points les plus éloignés. En d'autres termes, à un moment donné, l'observateur voit des points éloignés tels qu'ils étaient avant ce moment, d'autant plus loin dans le temps que les points sont éloignés spatialement. Il ne voit pas tous les points tels qu'ils étaient à un même instant. Ceci introduit une distorsion supplémentaire de l'image. 

Calculons cette distorsion. Considérons que l'ourse se déplace dans un plan. Ce plan est à une distance l de notre observateur (deux mètres  dans notre exemple ci dessous). On considère aussi que le centre de l'ourse est face à l'observateur (sur le projeté orthogonal de l'observateur sur le plan), au temps t0=0. Si notre observateur regarde au temps t vers un point de coordonnées x,y (dans le plan où passe l'ourse), à une distance l de lui, il verra arriver un photon qui est parti de ce point en un temps

t_emission=t-c * l,      (7)

car la lumière a parcouru la distance l à une vitesse c. La distance l s'optient aisément par le théorème de Pythagore, l'observateur étant à l'origine de son repère, en (0,0,0), et le point qu'il regarde, en (x,y,d), est à une distance

l = √(x^2+y^2+d^2)   (8)

Le point de l'ourse qu'il observe est donc celui qui est en position (x,y,d) au temps t_emission. Pour connaitre son aspect, il faut passer dans le repère de l'ourse à l'aide de la transformation de Lorentz:

y'=y;                            (9)

z'=d                             (10) (on est dans le plan où se balade cet ourse bidimensionnelle de l'exemple), et

x'=γ (x-v t_emission) = γ (x-v (t - c √(x^2+y^2+d^2))        (11)

Au passage, le chronomètre de l'ourse en ce point indiquait t'=γ (t_emission - β x/c) au moment où ce photon a été envoyé, mais personne n'a pensé à l'enregistrer, ça ne nous sert pas dans le problème qui nous intéresse.

En regardant l'aspect de l'ourse qui renvoie de la lumière en (x',y') donné par ces équations (9) et (11), on peut donc affecter cet aspect à notre point observé en (x,y).

C'est le principe du script ci dessous. Chaque pixel y est supposé pour l'exemple distant d'1m de ses plus proches voisins, le temps dans le script est indiqué en unités de 1m/c = 1m / (300000000 m/s) ~ 3 ns, et on obtient une série d'images ci dessous pour des temps allant de -1.05 μs à 3.66 μs.

Figure: images observées à des temps régulièrement répartis entre -0.14 μs et 0.45 μs

Media: http://www.youtube.com/embed/GivyaQ8TJrA film ralenti 3 000 000 de fois (pour qu'on ait le temps d'apercevoir cette ourse fonçant sur son grand bi).

On peut aussi jouer à faire varier la vitesse: Pour une fusée, observée de la même distance (~1/10 de la taille de l'image):

Vol non relativiste. Remarquez qu'on ne remarque rien. Vue sur une durée très courte, comme ici (de l'ordre de la taille de la fusée divisée par la vitesse de la lumière - exactement 3 * taille de la fusée / c), la fusée n'a pas le temps de se déplacer significativement, elle semble immobile.

Vol à 0.1 c

Vol à 0.3c

Vol à 0.5c

Vol à 0.7c

Vol à 0.9c

Vol à 0.95c

Vol à 0.99c

En réalité (si j'ose dire, pour autant que ce concept s'applique à cette Grande Ourse sur son Grand Bi), les photons réémis par la grande ourse sur son grand bi ne seront pas perçus de la couleur d'émission par l'observateur, en vertu de l'effet Doppler: les points qui s'approchent verront leur couleur décalée aux plus courtes ongueurs d'ondes, vers l'ultraviolet, et ceux qui s'éloignent aux plus grandes longueurs d'ondes, vers l'infra-rouge. Mais c'est une autre histoire (assez facile à prendre en compte, mais non intégrée dans ce script à ce stade).

Pour aller plus loin ou tester ces effets en interactif, un environnement de jeu qui prend en compte ceci correctement, en plus des distorsions, a été développé sur une base Unity3d au MIT: http://gamelab.mit.edu/research/openrelativity/ avec le jeu téléchargeable, "A slower speed of light", http://gamelab.mit.edu/games/a-slower-speed-of-light/

Vous pouvez librement modifier l'image si vous souhaitez faire passer votre chat préféré ou tout ce qui vous trotte dans la tête à vitesse relativiste à l'aide du script ci dessous - la vitesse, distance, etc, se règlent aisément. Et n'hésitez pas à partager le résultat en commentaire s'il vous plait! :-)

Version du paragraphe sur la transformation de l'espace-temps pour lecteurs ayant des notions de Relativité Restreinte de niveau Terminale S:

Lorsque qu'un objet se déplace à vitesse constante v (dirigée selon x) par rapport à un observateur,  ce qui est à la position (x',y',z'), au temps t', dans un référentiel lié à l'objet, se retrouve dans un référentiel lié à l'observateur, à une position (x,y,z), au temps t, avec la transformation de Lorentz [4]:

x'=γ (x-vt)    (1)

y'=y              (2)

z'=z              (3)

t'=γ (t-βx/c)  (4)

avec le rapport vitesse du premier référentiel par rapport au deuxième v sur la vitesse de la lumière c,

β=v/c;           (5)

et le facteur de Lorentz

γ=1/√(1-β*β)   (6)

On a fixé l'origine des temps pour que les deux origines des repères coincident à t=0 et t'=0.

La forme de la transformation de Lorentz à partir des postulats d'Einstein, le principe de relativité (invariance de la vitesse de la lumière entre tous les référentiels intertiels, en translation uniforme les uns par rapport aux autres), et le principe de relativité (invariance des lois de la mécanique entre tous les référentiels inertiels), et est clairement démontrée pour des lecteurs de niveau prépa scientifique, dans ce cours d'Eric Gourgoulhon [6].

Ceci se réduit à une transformation galiléenne (classique) quand v<<c: β=0, γ=1, et y'=y, z'=z, t'=t (pas de modification du temps), et une translation uniforme à vitesse v selon x, x'=x-vt. Quand ce n'est pas le cas, dans le repère de l'observateur, l'axe selon la direction du déplacement est contracté d'un facteur, les longueurs étant multipliées par 1/γ=√(1-β*β) , comme l'indique l'équation (5).

Annexes:

script matlab relativisticimage.m - (chargeable avec image sur github: https://github.com/renaud71/relativistic-image-series, ou texte ci dessous )

%% script: Renaud Toussaint, CNRS, Juillet 2018. (c) renaud.toussaint@unistra.fr
beta=0.9; 
%%% rapport vitesse de l objet sur vitesse de la lumiere, 300000 km par s
gamma=1/sqrt(1-beta*beta);
d=20; % distance du plan ou passe l objet en m
dp=d;   % par defaut, =d, on change si on veut un appareil photo a une distance differente de l objet
A=imread('ours-sur-un-velo.png');  % nom de l'image qui va passer de haut en bas. Changer pour une autre image.
sizex=size(A,1);
sizey=size(A,2);
sizenewimx=470;
sizenewimy=470;
step=10;  %pas en temps entre deux images. unite du pas de temps: 1 m sur c  = 1 m sur 300 000 000 m par s = 3 ns - avec step=10, une im tous les 33 ns, joué à 30 impar s: ralenti 30 par 33.10^-9 = 1 milliards de fois
imshow(A);
%figure;
ic=floor(sizex/2);
jc=floor(sizey/2);
icnew=floor(sizenewimx/2);
jcnew=floor(sizenewimy/2);
for tcount=0:3*sizenewimx/step;
    t=tcount*step-2*sizenewimx/3;
    B=uint8(122.*ones(sizenewimx,sizenewimy,3));
    for i=1:sizenewimx;
        for j=1:sizenewimy;
            inewpp=ic+d/dp*(i-icnew);
            jnewpp=jc+d/dp*(j-jcnew);
            inew=floor(gamma*((inewpp-ic)-beta*(t-sqrt((inewpp-ic)*(inewpp-ic)+(jnewpp-jc)*(jnewpp-jc)+d*d)))+ic);
            jnew=floor(jnewpp-jc)+jc;
            if(inew>1&jnew>1&inew<sizex&jnew<sizey)
                B(i,j,:)=A(inew,jnew,:);
                A(inew,jnew,:);
            end
        end
    end
%C=B;imshow(C);
    stringname=sprintf('%04d',tcount);
    filename1=strcat('relim',stringname);
    filename=strcat(filename1,'.bmp');
    imwrite(B,filename,'BMP');
end;

Ce script peut être exécuté sous matlab, avec une image de l'ourse nommée ours-sur-un-velo.png dans le répertoire d'execution. On peut aussi l'exécuter sous le logiciel open source scilab (https://www.scilab.org/fr) avec une librairie qui permet de gérer l'ouverture et l'écriture des images, comme SIP, image processing toolbox (http://siptoolbox.sourceforge.net/). Ou le reprogrammer en c, ou tout langage de programmation.

A partir des images numérotées produites par le script, le film est obtenu à l'aide de la bibliothèque ffmpeg (https://www.ffmpeg.org/), avec l'instruction

ffmpeg -r 10 -start_number 1 -i relim%04d.bmp -c:v libx264 -r 30 -pix_fmt yuv420p out.mp4

Références:

[1] http://www.tangentex.com/RelativiteRestreinteTS.htm

[2] G. Gamow, ”Mr. Thompkins in Wonderland” (Cambridge University Press, Cambridge 1958)

[3] A. Nowojewski, Gamow's bicycle: The Appearance of Bodies at Relativistic Speeds and Apparent Superluminal Velocities Arxiv:0512054. https://arxiv.org/pdf/physics/0512054.pdf

[4] https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformations_de_Lorentz

[5] https://galerie.coloritou.com/cirque/ours-sur-un-velo-colorie-par--68189.html

[6] Eric Gourgoulhon, Enseigner la relativité restreinte en CPGE : une approche graphique. 2012. http://relativite.obspm.fr/relat_cpge.pdf

Notes de pied de page:

1 Naturellement, quand on parle de photons émis par la peau de l'ourse, il s'agit pour la plupart des ourses de photons réémis, car l'ourse est éclairée (rappelons qu'il s'agit d'une Ourse maîtrisant le Grand Bi), ces points diffusent ou reflètent les photons - sauf s'il s'agit d'une ourse qui émet elle-même des photons sans être elle-même éclairée, comme une ourse composée d'étoiles.