Billet

Grande Ourse sur un Grand Bi (de Gamow) - Vision à vitesse relativiste

Publié le
28 juillet 2018
par renaud71
Mis à jour le
20 août 2018
Physique
Relativité

Vous avez toujours rêvé de voir passer devant vous un ours sur un vélo à 90% de la vitesse de la lumière? Ou la fusée de Tintin? Ou le chat de la voisine, qui aime la bonne cuisine et y court très vite... Ou encore, vous apprenez ou enseignez les bases de la relativité restreinte en terminale S [1], en premières années d'études à l'Université ou en classes prépa, ou en autodidacte? Ou vous êtes simplement curieux?

Ce petit billet est fait pour vous ! Il décrit les bases physiques et un petit script informatique pour visualiser le passage. Le problème de base du passage de la bicyclette très rapide, posé de manière didactique suite à la découverte de la Relativité Restreinte par A. Einstein, a été proposé par M. George Gamow,  dans ”Mr. Thompkins in the Wonderland” [2]. Il permet de comprendre également comment des galaxies se déplaçant à vitesse relativiste par rapport à nous peuvent être apparemment déformées. Des détails sur ce problème peuvent être trouvés dans un article de A. Nowojewski [3].

Lorsqu'un objet se déplace à vitesse constante v par rapport à un observateur, si v n'est pas négligeable par rapport à la vitesse de la lumière c, les distances dans la direction du mouvement sont "ratatinées" pour l'observateur, elles sont divisées par un facteur d'échelle plus grand que 1 nommé facteur de Lorentz, γ=1/√(1-v*v/c/c) - d'autant plus grand que 1 que v n'est pas négligeable par rapport à c, et égal à 1 si v est négligeable. Au passsage, le temps enregistré par une horloge sur l'objet est également modifié par rapport au temps enregistrée par des horloges immobiles pour l'observateur , qui enregistrent des durées plus longues - on parle de contraction de l'espace et de dilatation du temps. Vous pouvez lire les détails de la tranformation des coordonnées (transformation de Lorentz [4]) en bas de ce texte dans le paragraphe "Pour aller plus loin: Version pour lecteurs ayant des notions de Relativité Restreinte de niveau Terminale S" . Ou vous pouvez continuer directement la lecture.

Considérons un ours. Ou une ourse. Pour qu'il s'agisse d'une grande ourse afin d'appréhender au mieux les phénomènes célestes, montons la sur les bicyclettes de nos arrière-arrière grands parents, un grand bi. Une telle ourse sur une bicyclette se déplaçant vers le bas à 90% de la vitesse de la lumière voit donc sa dimension verticale réduite dans le repère de l'observateur, étant multipliée par √(1-0.9*0.9) = 0.436.

Figure: Gauche (ou haut): Ourse descendant sur un Grand Bi à 90% de la vitesse de la lumière (telle qu'observée à vitesse non relativiste par anonyme68189 sur le site pédagogique Coloritou [5]). Droite (ou bas): Ourse ratatinée par son déplacement relativiste, dans le repère de l'observateur à un moment donné.

Est-ce pour autant ainsi que l'observateur verra passer l'Ourse? Ce sera le cas si le temps qu'ont mis les photons lumineux partis de l'ourse est négligeable par rapport au temps de déplacement de l'ourse d'une fraction de sa taille: quand on regarde une telle ourse à vitesse non relativiste, négligeable par rapport à la vitesse de la lumière c, après un temps d'émission donné de photons depuis n'importe quel point sur l'ourse, la lumière parcourt la distance entre les points de l'ourse et l'observateur en un temps négligeable, et l'observateur voit l'ourse avec la forme qu'elle a à ce moment.

Mais si l'ourse se déplace à une vitesse non négligeable par rapport à la vitesse de la lumière, l'ourse se sera déplacée le temps que les photons arrivent à l'observateur. Et le temps mis par les photons pour arriver jusqu'à l'oeil de l'observateur depuis un point de la (célèbre) peau de l'ourse qui émet (1) ces photons dépend de la position de ces points sur la peau de l'ourse: les photons émis (1)  à un moment donné du nez de l'ourse arrivent à l'observateur avant ceux émis en même temps par la queue de l'ourse, si elle s'approche. Les points les plus proches émettent (1) des photons qui arrivent en moins de temps à l'observateur que les points les plus éloignés. En d'autres termes, à un moment donné, l'observateur voit des points éloignés tels qu'ils étaient avant ce moment, d'autant plus loin dans le temps que les points sont éloignés spatialement. Il ne voit pas tous les points tels qu'ils étaient à un même instant. Ceci introduit une distorsion supplémentaire de l'image. 

Calculons cette distorsion. Considérons que l'ourse se déplace dans un plan. Ce plan est à une distance l de notre observateur (deux mètres  dans notre exemple ci dessous). On considère aussi que le centre de l'ourse est face à l'observateur (sur le projeté orthogonal de l'observateur sur le plan), au temps t0=0. Si notre observateur regarde au temps t vers un point de coordonnées x,y (dans le plan où passe l'ourse), à une distance l de lui, il verra arriver un photon qui est parti de ce point en un temps

t_emission=t-c * l,      (7)

car la lumière a parcouru la distance l à une vitesse c. La distance l s'optient aisément par le théorème de Pythagore, l'observateur étant à l'origine de son repère, en (0,0,0), et le point qu'il regarde, en (x,y,d), est à une distance

l = √(x^2+y^2+d^2)   (8)

Le point de l'ourse qu'il observe est donc celui qui est en position (x,y,d) au temps t_emission. Pour connaitre son aspect, il faut passer dans le repère de l'ourse à l'aide de la transformation de Lorentz:

y'=y;                            (9)

z'=d                             (10) (on est dans le plan où se balade cet ourse bidimensionnelle de l'exemple), et

x'=γ (x-v t_emission) = γ (x-v (t - c √(x^2+y^2+d^2))        (11)

Au passage, le chronomètre de l'ourse en ce point indiquait t'=γ (t_emission - β x/c) au moment où ce photon a été envoyé, mais personne n'a pensé à l'enregistrer, ça ne nous sert pas dans le problème qui nous intéresse.

En regardant l'aspect de l'ourse qui renvoie de la lumière en (x',y') donné par ces équations (9) et (11), on peut donc affecter cet aspect à notre point observé en (x,y).

C'est le principe du script ci dessous. Chaque pixel y est supposé pour l'exemple distant d'1m de ses plus proches voisins, le temps dans le script est indiqué en unités de 1m/c = 1m / (300000000 m/s) ~ 3 ns, et on obtient une série d'images ci dessous pour des temps allant de -1.05 μs à 3.66 μs.